微積分第一基本定理
Author: 藍邦偉  老師

$ 微積分第一基本定理 $

$ 若f在[a,b]為連續且F是f在[a,b]的一個反導函數，\;則\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a) $

$ Pf $

$ 設x_1,x_2,...,x_{n-1}為[a,b]中的任意點，且a<x_1<x_2<...<x_{n-1}<b $

$ 這些點將[a,b]分割成n個子區間[a,x_1].[x_1,x_2],...,[x_{n-1},b] ，通常記作\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n$

$ ⇒F(b)-F(a)=[F(x_1)-F(a)]+[F(x_2)-F(x_1))]+[F(x_3)-F(x_2)]+...+[F(b)-F(x_{n-1})] $

$ ∀x∈[a,b],F'(x)=f(x) $

$⇒ F(b)-F(a)=F'(x_1^*)(x_1-a)+F'(x_2^*)(x_2-x_1)+...+F'(x_n^*)(b-x_{n-1}) $
$其中x_1^*,x_2^*,...,x_n^*依次為子區間中的點$

$ 即F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^{n}{ f(x_k^*)\Delta x_k} $

$ 取max \Delta x_k →0$

$ ⇒F(b)-F(a)=\lim_{ max\Delta x_k \to 0 } \sum_{k=1}^{n}{ f(x_k^*)\Delta x_k}=\int_{a}^{b}{f(x)dx }$

$ ⇒\int_{a}^{b}{f(x)dx }=F(x)]^b_a=F(b)-F(a) $

$ y=f(x) $

$若\;y=f(x)在\;x=0\;到\;x=a\;$
$之間的面積為F(a)，\;y=f(x)$
$在x=0\;到\;x=a+h\;之間的$
$面積為F(a+h) $

a

$ a+h $

Step = 0 (slider from 0 to 14, step 1)
u = Vector((x(Corner[1]), 0), (x(Corner[3]), 0))
v = Vector((0, y(Corner[1])), (0, y(Corner[3])))
A_1 = (3.2, 5.1)
A_2 = (-0.94, 3.66)
A_3 = (5.2, 3.44)
A_4 = (9.62, 3.96)
f = Polynomial({A_1, A_2, A_3, A_4})
Q_2: 0.3 * Corner[2] + 0.7 * Corner[1]
Q_3: (x(Q_2), y(Corner[4]))
poly, a_1, a_3, a_4, a_2 = Polygon(Corner[1], Q_2, Q_3, Corner[4])
a = 7.6 (slider from 0 to 8, step 0.1)
h = -1 (slider from -1 to 1, step 0.01)
r_2 = Integral(f, a, a + h)
r_1 = Integral(f, 0, If[h > 0, a, a + h])
A: (a, 0)
B: (a + h, 0)