微積分第二基本定理
Author: 藍邦偉  老師

微積分第二基本定理

$ 令\;f\;在開區間I為連續，\;並令\;a\;為\;I\;中的任意點，\;若\;F\;定義為\;F(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt }$
$則在區間\;I\;中的每一點x，\;恆有\;F'(x)=f(x) $

Pf

$ ∵F'(x)=\lim_{ h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h} $

$ =\lim_{ h \to 0}\frac{1}{h} \cdot \left [  \int_{a}^{x+h}{f(t)dt }-\int_{a}^{x}{ f(t)dt}\right ] $

$ =\lim_{h\to0 } \frac{1}{h}\cdot \left [  \int_{a}^{x+h}{f(t)dt }+\int_{x}^{a}{f(t)dt}\right ] $

$ =\lim_{ h \to 0 }\frac{1}{h}\cdot \int_{x}^{x+h}{f(t)dt } $

$ 將積分均值定理應用到上式，得：F'(x)=\lim_{ h \to 0 } \frac{1}{h}\cdot \left [ f(t^*)\cdot h \right ] $

$ 此時t^*為在x與x+h之間的某數，故當h→0時，t^*→x⇒f(t^*)→f(x)又f在x為連續 $

$ ∴F'(x)=f(x) $

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