sinx/x在0附近的極限值
Author: 藍邦偉  老師

$ \lim_{ θ \to 0^+ }\frac{sinθ}{θ}=1 $

$ 扇形OAB的面積為\frac{1}{2}r²θ=\frac{1}{2}θ $

$ \Delta OAC 的面積為\frac{1}{2}sinθcosθ$

ΔOBD的面積是\frac{1}{2}×1×tanθ

$ ∵\Delta AOC≤扇形OAB≤\Delta OBD$

$ ∴sinθcosθ≤θ≤\frac{sinθ}{cosθ} $

$ ⇒cosθ≤\frac{θ}{sinθ}≤\frac{1}{cosθ} $

$ ⇒\frac{1}{cosθ}≥\frac{sinθ}{θ}≥cosθ $

$ 由夾擠定理知： $
$\lim_{ θ \to 0^+ }\frac{1}{cosθ}≤\lim_{ θ \to 0^+ }\frac{sinθ}{θ}≤\lim_{ θ \to 0^+}cosθ$

$ 1≤\lim_{ θ \to o^+ }\frac{sinθ}{θ}≤1 $

$ ⇒\lim_{ n \to 0^+ } \frac{sinθ}{θ}=1$

A

$ O $

$ B $

$ C $

$ D $

θ

u = Vector((x(Corner[1]), 0), (x(Corner[3]), 0))
v = Vector((0, y(Corner[1])), (0, y(Corner[3])))
O = (0, 0)
Q_2: 0.6 * Corner[1] + 0.4 * Corner[2]
Q_3: (x(Q_2), y(Corner[4]))
poly1, q_1, q_2, q_4, q_3 = Polygon(Corner[1], Q_2, Q_3, Corner[4])
A = Point(c)
C: (x(A), 0)
B = (1, 0)
n = 0 (slider from 0 to 10, step 1)
a = Ray(O, A)
b: x = x(B)
D = Intersect(b, a)
d = Segment(O, A)
c_1 = CircleSector(O, B, A)
e = Segment(A, C)
poly2, c_2, a_1, o = Polygon(A, O, C)
poly3, d_1, o_1, b_1 = Polygon(O, B, D)
α = Angle(B, O, A)