隸美弗定理
Author: 藍邦偉  老師

$ 隸美弗定理 $

$ 若\;n∈\mathbb{Z}，且z=|z|(cosθ+isinθ) ，\;則：\;z^n=|z|^n\left [cos(nθ)+isin(nθ)  \right ] $

$ Pf： $

1°\;當n=1時，z^1=|z|^1(cosθ+isinθ)明顯成立

$ 2°\;設\;n=k\;時原式成立，即：\; z^k=|z|^k\left [ cos(kθ)+isin(kθ) \right ] $

$ 3°\;當\;n=k+1\;時： $

$ z^{k+1}=z^k\cdot z=|z|^k\left [cos(kθ)+isin(kθ)  \right ] \cdot |z|(cosθ+isinθ) $

=|z|^{k+1}\cdot\left\lbrace[\;cos(kθ)cosθ+i²sin(kθ)sinθ]+i[sin(kθ)cosθ+cos(kθ)sinθ\;]  \right\rbrace 

$ =|z|^{k+1}\cdot \left\lbrace [\;cos(kθ)cosθ-sin(kθ)sinθ]+i[sin(kθ)cosθ+cos(kθ)sinθ\;] \right\rbrace  $

$ =|z|^{k+1}\cdot \left [ \;cos(kθ+θ)+isin(kθ+θ)\; \right ]  $

$ =|z|^{k+1}\cdot \left [\;cos(k+1)θ+isin(k+1)θ\;  \right ]  $

$ 4°\;故依數學歸納法知原式成立 $

1

2

3

$ 當n為正整數時 $

$ 當n=0時 $

$ 當n為負整數時 $

$ z^0=1=cos0+isin0=cos(0\cdot θ)+isin(0\cdot θ) 成立$

$ 當\;n\;是負整數時，\;-n是一個正整數，\;故由之前證明可知： $

$ z^n=\frac{1}{z^{-n}} $

$ =\frac{1}{|z|^{-n}\cdot [cos(-nθ)+isin(-nθ)]} $

$=\frac{cos0+isin0}{|z|^{-n}\cdot [cos(-nθ)+isin(-nθ)]} $

$ =|z|^{n}\cdot \left\lbrace cos[0-(-nθ)]+isin[0-(-nθ)]  \right\rbrace  $

$ =r^n \cdot (cosnθ+isinnθ) $

Step = 0 (slider from 0 to If[a ≟ true, 9, If[b ≟ true, 1, 6]], step 1)
a = true
b = false
c = false
n = 0