橢圓的證明
Author: 藍邦偉  老師

試證以F(c,0)與F'(-c,0)為焦點的橢圓方程式為\Gamma:\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1

pf:

設P(x,y)∈\Gamma

∵\overline{PF}+\overline{PF'}=2a

∴\overline{PF}=2a-\overline{PF'}

⇒\overline{PF}² =4a²-4a×\overline{PF'}+\overline{PF'}²

⇒(x-c)²+y²=4a²-4a×\overline{PF'}+(x+c)²+y²

⇒-2cx=4a²-4a×\overline{PF'}+2cx

$ ⇒4a×\overline{PF'}=4cx+4a² $

$ ⇒a×\overline{PF'}=cx+a² $

⇒a²×\overline{PF'}²=c²x²+2a²cx+a⁴

⇒a²[(x+c)²+y²]=c²x²+2a²cx+a⁴

⇒a²x²+2a²cx+a²c²+a²y²=c²x²+2a²cx+a⁴

⇒a²x²+a²c²+a²y²=c²x²+a⁴

⇒(a²-c²)x²+a²y²=a⁴-a²c²

$ ⇒b²x²+a²y²=a²(a²-c²)=a²b² $

⇒\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1

Reset

Step = 0 (slider from 0 to 15, step 1)
A = (-4.18, 6.14)
n = 0