反函數
Author: 藍邦偉  老師

$ O $

$ 反函數 $

$ 釋例 $
$若f(x)=x³+1，試求f^{-1}(x).$
$Sol：$

$ 設y=f(x)=x^3+1 $

$ ⇒x^3=y-1 $

$⇒ x=\sqrt[3]{y-1} $

$ 將x,y互換，得： $
$y=\sqrt[3]{x-1}$

$⇒ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1} $

$ 定義： \;如果函數\;f\;與\;g\;滿足$
$下列兩條件：$
$(1)\;g(f(x))=x,\;∀x∈Domf$
$(2)\;f(g(x))=x,\;∀x∈Domg$
$此時我們稱\;f\;為\;g\;的反函數或$
$g\;為\;f\;的反函數$
$也可以說\;f\;與\;g\;互為反函數$

$ 性質： $
$(1)\;f^{-1}\left( f(x)  \right)=x ,\;x∈Domf$
$(2)\;f\left(f^{-1}(x)   \right)=x,\;x∈Domf^{-1}$
$(3)\;f^{-1}的定義域就是\;f\;的值域$
$(4)\;f^{-1}的值域就是f\;的定義域$

$定理：$
$ 若\;f\;為1-1函數，\;則\;f^{-1}存在$
$若f^{-1}存在，\;則\;f\;為1-1函數$

$ 引理：\;$
$一對一函數 $
$∀x_1,x_2∈Domf\;，\;若x_1≠x_2，$
$則\;f(x_1)≠f(x_2)$
$我們稱\;f\;為1-1函數$

$ 定理：\;水平線檢驗 $

$ x_1 $

$ x_2 $

$ f(x_1) $

$ f(x_2) $

$ f(x_1)=f(x_2) $

$ x_1 $

$ x_2 $

$ (1)\;若函數\;f\;的反函數存在，\;則$
$函數\;f\;的圖形與任何水平線至多$
$交於一點 $
$ (2)\;若函數\;f\;的圖形與任何水平$
$線至多交於一點，\;則函數\;f\;的$
$反函數存在 $

h = 3.94 (slider from 2 to 4, step 0.01)
u = Vector((x(Corner[1]), 0), (x(Corner[3]), 0))
v = Vector((0, y(Corner[1])), (0, y(Corner[3])))
O = (0, 0)
Q_2: 0.68 * Corner[1] + 0.32 * Corner[2]
Q_3: (x(Q_2), y(Corner[4]))
poly1, q_1, q_2, q_4, q_3 = Polygon(Corner[1], Q_2, Q_3, Corner[4])
n = 0 (slider from 0 to 4, step 1)
f(x) = x^(3) + 1
g(x) = (x - 1)^(1 / 3)
Step = 1 (slider from 1 to 6, step 1)
b = 1 (slider from 1 to 2, step 1)
D = Point(u)
E = Point(u)
c = OrthogonalLine(D, u)
d = OrthogonalLine(E, u)
f_{31}(x) = 1.2 * ld(x / 2) + 2
F = Intersect(f_{31}, c, (1.2164606218164202, 1.139227543266582))
G = Intersect(f_{31}, d, (3.79470298325859, 3.1087843619469817))
e_1 = Segment(D, F)
e_2 = Segment(E, G)
e_3 = Segment(F, (0, y(F)))
e_4 = Segment(G, (0, y(G)))
f_{32}(x) = 2 * cos(x / 1.8 - 2.3) + 3
A: (0, h)
e: y = y(A)
H = Intersect(f_{32}, e, (2.193290013171848, 3.9400000009584324))
B = Intersect(f_{32}, e, (6.086709986828152, 3.9400000009584324))
H_1: (x(H), 0)
B_1: (x(B), 0)
f_1 = Segment(H, H_1)
f_2 = Segment(B, B_1)
f_{41}(x) = x^(2)
f_{42}(x) = x^(3)
k = 4.625161040072246 (slider from y(Corner[1]) + 0.1 to y(Corner[3]) - 0.1, step 0.01)
j: y = k
i = If(n ≟ 2, Step = 1)