$a=%v$

1.\;對數函數的定義

設a>0, \space a≠1,\;x>0， \;若x為自變數，\; 則函數
\y=f(x)=log_ax稱為以a為底的對數函數。

2.\;對數函數的圖形

(1)\;a>1時：

(2)\;a>b>1時：

y=a^x

y=log_ax

y=log_bx

y=a^x

(3)\;0<a<1時：

(4)\;0<a<b<1時：

3.\;對數函數圖形的特性

$a=%v$

若\;a>0,\;a≠1,\;x>0,\;則對數函數\;y=f(x)=log_ax\;的圖形有以下性質

(1)\;y=log_ax\;的圖形恆在y軸右方，\;\
\;\;\;\;\;\;即：\;log_ax中，\;x>0

(2)\;y=log_ax\;的圖形恆過點(1,0)

(1,0)

(4)\;y=log_ax\;的圖形與平行於x軸\
\;\;\;\;\;\;的每一條直線都恰交於一點。\
\;\;\;\;\;\;即：\;∀k∈ℝ,\;\
\;\;\;\;\;\;滿足log_ax=k之x值恰有一解。

$k=%v$

(5)\;a>1時，\;y=log_ax的圖形由左而右\
\;\;\;\;\;\;逐漸升高，\;為遞增函數。\;\
\;\;\;\;\;\;即當a>1時，\;x_1,x_2∈ℝ,\;則：\;\
\;\;\;\;\;\;log_a{x_1}>log_a{x_2}⇔x_1>x_2

(6)\;0<a<1時，\;y=log_ax的圖形\
\;\;\;\;\;\;由左而右逐漸降低，\;為遞減函數。\;\
\;\;\;\;\;\;即當0<a<1時，\;x_1,x_2∈ℝ,\;則：\;\
\;\;\;\;\;\;log_a{x_1}>log_a{x_2}⇔x_1<x_2

(7)\;圖形增高時，\;越往右增高越慢；\
\;\;\;\;\;\;圖形降低時，\;越往右降低越慢。\
\;\;\;\;\;\;即：\;若x_1,x_2為相異實數，\;則：\
\;\;\;\;\;\;a>1時：\;\
\;\;\;\;\;\;⇒\frac{log_a{x_1}+log_a{x_2}}{2}<log_a{\frac{x_1+x_2}{2}}\
\;\;\;\;\;\;0<a<1時：\;\
\;\;\;\;\;\;⇒\frac{log_a{x_1}+log_a{x_2}}{2}>log_a{\frac{x_1+x_2}{2}}\

(8)\;當底數a>1時，\;a越大\
\;\;\;\;\;\;圖形越接近x軸：\;即：\;a>b>1時：\;\
\;\;\;\;\;\;若x>1\;⇒log_a{x}<log_bx\
\;\;\;\;\;\;若0<x<1\;⇒log_a{x}>log_bx

(9)\;當底數0<a<1時，\;a越小\
\;\;\;\;\;\;圖形越接近x軸：\;即：0<a<b<1時：\;\
\;\;\;\;\;\;若x>1\;⇒log_a{x}>log_bx\
\;\;\;\;\;\;若0<x<1\;⇒log_a{x}<log_bx

Forward

y=log_ax

y=log_ax

(3)\;y=log_ax的圖形以y軸為漸近線

(10)\;對數函數y=log_ax與指數函數\
\;\;\;\;\;\;\;y=a^x之圖形對稱於直線y=x。\;\
\;\;\;\;\;\;\;即：\;點(x_0,y_0)在y=log_ax的圖形上\
\;\;\;\;\;\;\;⇔點(y_0,x_0)在y=a^x的圖形上。\
\;\;\;\;\;\;\;由log_a{a^x}=x且a^{log_ax}=x，\;可知指數\
\;\;\;\;\;\;\;函數與對數函數兩者自變數和應變數\
\;\;\;\;\;\;\;互換，\;稱y=log_ax與y=a^x互為反函\
\;\;\;\;\;\;\;數。

y=x

對數函數的圖形

c = 1.3 (slider from 1.1 to 10, step 0.1)
B = (4.544317124901466, -9.777115608738502)
s = 0 (slider from 0 to 27, step 1)
A = Corner(4)
C: B + (23, 0)
v_1 = Vector(B - (0, 3), B + (0, 10))
v_2 = Vector(C - (0, 3), C + (0, 10))
a = 2 (slider from 0.1 to 10, step 0.1)
f = If(a > 1, If[x(C) + a^(-3) ≤ x ≤ x(C) + Min[a^(10), 15],log(a, x - x(C)) + y(C)], If[x(C) + Max[a^(10), 0.005] ≤ x ≤ x(C) + Min[15, a^(-3)],log(a, x - x(C)) + y(C)])
D_{19}: C + (1, 0)
k = 1.5 (slider from -3 to 10, step 0.1)
k_0 = Segment(C + ((-3), k), C + (15, k))
D = Intersect(f, k_0, (30.37274424964766, -8.277115608738502))
u_1 = Vector(B - (3, 0), B + (15, 0))
u_2 = Vector(C - (3, 0), C + (15, 0))
L_1: y - y(B) = x - x(B)
f_1(x) = If[x(B) - 3 ≤ x ≤ Min[x(B) + log(c, 10), x(B) + 15],c^(x - x(B)) + y(B)]
f_6(x) = If[x(B) + c^(-3) ≤ x ≤ x(B) + Min[c^(10), 15],log(c, x - x(B)) + y(B)]
f_2(x) = If[x(C) + 1.5^((-3)) ≤ x ≤ x(C) + Min[57.6650390625, 15],log(1.5, x - x(C)) + y(C)]
f_3(x) = If[x(C) + 0.125 ≤ x ≤ x(C) + 15,log(2, x - x(C)) + y(C)]
g_2(x) = If[x(C) + 0.3^(10) ≤ x ≤ x(C) + Min[15, 37.03703703703704],log(0.3, x - x(C)) + y(C)]
g_3(x) = If[x(C) + 0.7^(10) ≤ x ≤ x(C) + 0.7^((-3)),log(0.7, x - x(C)) + y(C)]
f_4(x) = If[x(B) - 3 ≤ x ≤ x(B) + 10,x - x(B) + y(B)]
g_1(x) = If[x(B) - 3 ≤ x ≤ x(B) + 12,0.6^(x - x(B)) + y(B)]
f_5(x) = If[x(B) + 0.6^(10) ≤ x ≤ x(B) + 0.6^((-3)),log(0.6, x - x(B)) + y(B)]
text212: "y=" + (LaTeX[k]) + ""