二項分配的期望值與變異數的證明
Author: 藍邦偉  老師

$ 二項分配的期望值與變異數 $

$ E(X)=\sum_{x=1}^{n}{ C^n_xp^xq^{n-x}\cdot x} $

$ =\sum_{x=1}^{n}{\frac{n!\cdot x}{x!\cdot (n-x)!} } \;p^x\cdot q^{n-x}$

$ =\sum_{x=1}^{n}{\frac{np\cdot(n-1)!}{(x-1)!\cdot (n-x)!} \;p^{x-1}\;q^{n-x}} $

$ 已知隨機變數X服從二項分配B(n,p)，\;則X的機率質量函數為 b(x)=C^n_x\;p^x\;(1-p)^{n-x}，\;x=0,1,...,n$
$試證：\;E(X)=np,\;V(X)=np(1-p)

$ =np\cdot \sum_{x=1}^{n}{\frac{(n-1)!}{(x-1)!\;(n-x)!} } \;p^{x-1}\;q^{n-x}$

$ =np\cdot \sum_{x=1}^{n}{C^{n-1}_{x-1}p^{x-1} } q^{n-x}$

$ =np\cdot (p+q)^{n-1} $

$ =np $

$ Pf $

$ V(X)= E(X^2)-[E(X)]^2$

$ =\sum_{x}^{}{ x²p(x)-μ²} $

$ =\sum_{x}^{}{x(x-1)p(x) }+\sum_{x}^{}{ xp(x)}-μ² $

$ =\sum_{x=2}^{n}{x(x-1)\;C^n_x\;p^xq^{n-x} }+np-(np)² $

$ =n(n-1)p²\sum_{x=2}^{n}{C^{n-2}_{x-2}p^{x-2}q^{n-x} }+np-n²p² $

$ =n(n-1)p²(p+q)^{n-2}+np-n²p² $

$ =n²p-np²+np-n²p² $

$ =np-np²=np(1-p)=npq $

n = 0 (slider from 0 to 15, step 1)