複數極式的乘法與除法
Author: 藍邦偉  老師

$ 複數極式的乘法與除法 $

$已知 z_1=|z_1|(cosα+isinα),\;z_2=|z_2|(cosβ+isinβ),\;則： $
$(1)\;z_1z_2=|z_1z_2|(cos(α+β)+isin(α+β))$
$(2)\;\frac{z_1}{z_2}=\left\vert \frac{z_1}{z_2} \right\vert(cos(α-β)+isin(α-β)) $

$ Pf： $

$ z_1z_2=|z_1z_2|\left[ (cosαcosβ+i²sinαsinβ)+i(cosαsinβ+cosβsinα)  \right]  $

$ =|z_1z_2|\left[ (coscosβ-sinαsinβ)+i(sincosβ-cosαsinβ)  \right]  $

$ =|z_1z_2|\left[ cos(α+β)+isin(α+β)  \right] $

$ \frac{z_1}{z_2}=\left\vert \frac{z_1}{z_2} \right\vert  ·\frac{cosα+isinα}{cosβ+isinβ}$

$ =\left\vert \frac{z_1}{z_2} \right\vert·\frac{(cosα+isinα)(cosβ-isinβ)}{(cosβ+isinβ)(cosβ-isinβ)}  $

$ =\left\vert\frac{z_1}{z_2}  \right\vert·\frac{(cosαcosβ-i²sinαsinβ)+i(sinαcosβ-cosαsinβ)}{cos²β-i²sin²β}  $

$ =\left\vert \frac{z_1}{z_2} \right\vert  ·\frac{(cosαcosβ+sinαsinβ)+i(sinαcosβ-cosαsinβ)}{cos²β+sin²β}$

$ =\left\vert \frac{z_1}{z_2} \right\vert·\left [ cos(α-β)+isin(α-β) \right ]   $

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